lunes, 30 de enero de 2006

Sobre el caos (II)

Me temo que en el capítulo de hoy voy a tener que meterme en algunas honduras y nicaraguas, así que intentaré hacer el trago menos largo y duro (¡tócame el trago!), para que los legos y los tentes en la materia pillen algo (cacho no, lo siento, para eso ir al blog de Margarita la calentona).
Empezaré por hablaros de los sistemas dinámicos. No, no se tratan del conjunto de lamparita y cachivache que se colocan en las bicis para que den luz (perdón, suplico perdón). De una forma rápida, un sistema dinámico es cualquier porción del universo cuya evolución en el tiempo es determinista. ¿Cómo?¿Que qué co…píííí significa eso? Significa que existe una ley (antitabaco no, matemática) que determina lo que le va a pasar a continuación. Un ejemplo: un péndulo en movimiento. Si fuéramos unos tipos con la frente amplia y despejada, que no es mi caso, seríamos capaces de escribir una simple (o complicada) ecuación que describiera la posición angular de la pesa en un momento del tiempo t, determinado. Algo así como x'=f(x,t). También vale si hay algo de aleatoriedad, pero sólo un poquito, no más.
Básicamente, cualquier cosa puede ser un sistema dinámico. Lo único que hace falta es que seamos capaces de identificar sus variables de estado, y las ecuaciones que las relacionan. Casi ná. Perdón, las variables de estado son las características fundamentales que describen al sistema. En el sistema simple del péndulo pueden ser la posición angular y la velocidad, por ejemplo. El número de variables necesarias determina el orden del sistema. A mayor orden, mayor número de variables y de ecuaciones. Más complejidad, vamos.
No confundir el estado del sistema con el sistema del Estado. Mientras el segundo puede ser neoliberal, marxista-lenilista y derivados, el primero es el valor de las variables de estado en un momento determinado. Suele ser útil representar el estado del sistema y su evolución en un gráfico muy mono y que quedan muy bien en cualquier trabajo o post bloguero, llamado espacio de estado. En él, cada variable es un eje de un sistema de coordenadas ortogonal. Vaya, ya metí un palabro, ejes perpendiculares de toda la vida, vamos.
Ea, ya estamos en condiciones de aproximarnos al concepto de atractor. Para ello, me serviré de un ejemplo de alto valor pedagógico que se me acaba de ocurrir en la ducha. Supongamos que nuestro espacio de estado es un bar (de Peter, por ejemplo). Nuestro sistema es el amigo Pasmao (el bloguero, no el personaje real), que acaba de entrar en el bar, y las variables de estado, las coordenadas de su posición dentro de nuestro bareto.
Bien, ¿cómo evolucionará nuestro sistema? Hay muchas posibilidades, entre ellas que el Pasmao reciba una llamada desde casa y salga disparado del bar nada más entrar (¡un sistema inestable!), pero veremos tres ejemplos de evolución hacia un atractor.
Opción A) El Pasmao ve una chica buenorra en el centro de la pista, y se tira flechado, sin más dilación, directamente. También vale si se acerca en espiral, lo mismo da. Una vez junto a ella, allí se queda pegado como un chicle bajo un pupitre: para siempre si nadie le echa. No os confundáis con mi ejemplo. Un atractor no es algo físico (la chica buenona), sino un punto o conjunto de puntos en el espacio de estado. En nuestro caso, el centro de la pista (donde he puesto a la chica buenona para que os pongáis en el lugar del Pasmao). Este tipo de atractor es un punto de equilibrio fijo.
Opción B) El Pasmao se queda dando vueltas alrededor de un grupo de pibas que está en la pista. Ahí se quedaría hasta siempre si no viene el novio de una de ellas para echarlo. La trayectoria que describe se denomina ciclo límite, y es otro tipo de atractor estable.
Opción C) El Pasmao se ha tomado más birras de la cuenta y se pone a dar bandazos de un lugar a otro de la pista de baile (no en la barra, ni en el patio, siempre en la pista), siguiendo trayectorias aparentemente aleatorias. Digo aparentemente, porque en realidad su marcha está dictada por unos misteriosos pasos de baile que sólo el sabe. Si dibujásemos su trayectoria después de varias horas, a lo mejor sale una linda mariposa, o un donut, o qué se yo. Esa zona de trayectorias posibles para nuestro amigo Pasmao, centradas en la pista de baile es un atractor extraño o atractor caótico.
Quiero resaltar ahora que, aunque he tomado un ejemplo de espacio físico para que sea más fácil de asimilar, casi nunca es así. El espacio de estado es una representación mental de lo que está ocurriendo, ya que las variables de estado pueden ser magnitudes tales como la presión y la temperatura dentro de una olla donde se está cociendo un puchero, por ejemplo.
Otra consideración. Los sistemas dinámicos suelen dividirse en dos tipos: lineales y no lineales. Los primeros son aquellos en los que las alteraciones en su evolución son proporcionales a las alteraciones en su estado inicial. Dicho en cristiano: si le das el doble de candela a la olla, se calienta el doble el puchero. Sin embargo, la respuesta de los no lineales no siempre es proporcional.
Es fácil identificar un sistema no lineal a partir de sus ecuaciones de estado. Basta con comprobar si hay una variable multiplicada por otra, o elevada al cuadrado, o metida en un seno… Cualquier cosa que no sea del tipo ax’+by’+…=c, vamos.
¿Que para qué cuento todo esto? Porque el caos sólo puede aparecer en sistemas no lineales, por eso. En realidad, hay pocos sistemas totalmente lineales en la naturaleza, así que no os preocupéis. Ahora bien, no todos los sistemas no lineales pueden comportarse caóticamente.
Otra característica necesaria pero no suficiente para que aparezca el caos es el orden. Como mínimo, el sistema debe ser de orden 3, si no tiene excitación externa, o 2, si sí la tiene.
Creo que ya está bien por hoy. El próximo día, si aún hay alguien interesado, hablaremos sobre los fractales.
¡Ah!, se me olvidaba. En honor a Mizerable, aquí tenéis como ejemplo las ecuaciones de estado de un sistema caótico muy famoso en su casa: el de Lorenz.
x’=-ax+ay
y’=-xz+bx-y
z’=xy-cz
Este sistema tiene un atractor extraño en forma de mariposa (el del primer artículo) para a=10, b=28 y c=8/3.

13 comentarios:

  1. Pues va a ser que me lo he leido entero y todo, y hasta podría decir que lo he llegado a entender (vale, hago algo de trampa, soy de ciencias).
    Ahora en serio, con profes explicando como tu, no suspendería nadie ;)

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  2. Gracias 3nity, eres muy amable.
    Ahora que nadie nos lee, voy a ponerme un poquito más serio para profundizar en el tema para los que sois de ciencias.
    Un atractor no es sino una solución de las ecuaciones de estado. Por ejemplo, en el caso del punto de equilibrio se trata de una solución puntual estable. Si habéis estudiado ecuaciones diferenciales lineales, todos los autovalores de una solución así son negativos. En el caso de sistemas no lineales, existe una generalización del concepto de autovalor denominado exponente de liapunov. En el caso de un atractor caótico, alguno de los exponentes debe ser positivo, mientras que el resto debe ser negativo o cero. Eso indica que hay una cierta inestabilidad en la solución. El atractor atrae al sistema hacia una determinada zona del espacio de estado, pero una vez allí lo pierde en el torbellino de vueltas y revueltas del atractor.
    Enlacemos con lo dicho en el primer artículo. Si pintásemos dos trayectorias que arrancaran muy próximas dentro de un atractor extraño, veríamos que pronto se alejarían una de la otra (aunque no infinitamente, porque la región del atractor es limitada). De esta forma, nuestra predicción sobre el estado del sistema se haría mala rápidamente. Es decir, el sistema es altamente dependiente de sus condiciones iniciales.

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  3. Te falta un gráfico, la trayectoria del pasmao yendo hacia "Los amigos de Peter" :)

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  4. Me encantaría que los profesores de los 4 pestiños que me quedan por aprobar explicarana así.
    Por cierto, que queda totalmente clarito... salvo que creo que una tia tan asi en los amigos de Peter... y Peter se vuelve loco, jajaja.

    Besos

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  5. Entiendo Malatesta, que debido a que incluso el desorden o caos es en cierta forma "ordenado" la región de un atractor es limitada y no infinita.

    Intentando sacar una conclusión diferente del tema, esto puede ser análogo al termino químico de desorden. Si se puede calcular el desorden de una fórmula, es una contradicción llamarlo así, puesto que es algo matemáticamente predecible con mayor o menor dificultad.

    Para mí el termino desorden o caos, debería referirse a algo no predecible, ni con posibilidad de ordenación (partiendo de la base que si es predecible se puede ordenar o cambiar algún factor para que se ordene).

    Corrigeme si me equivoco, que tu eres el experto en el tema (mis ciencias se quedaron en la informática), pero intentando no radicalizar y cambiando un poco el término "caos", podemos decir que un estado inestable es así porque es facilmente influenciable por los elementos externos, así que de ahí se deriva que no es tan caótico, si no que si le añadimos a la ecuación del comportamiento un factor más en cada caso (el que produce la inestabilidad) tendríamos una respuesta para cada uno de los casos. Dicho esto el comportamiento sería "estable" o "predecible" si tuvieramos una muestra de todos los posibles factores externos.
    Según mi teoría descrita, con el caso del atractor positivo, si conocemos la reacción del sistema con este atractor positivo éste no es que se pierda en un torbellino de vueltas, sino que lleva una trayectoria diferente (que parece más inestable a medida que aumente el número de posibles factores externos al sistema). Este sería el caso de nuestro amigo el Pasmao con las birras de más. Seguramente la trayectoria no dibuje una línea tan recta o tan clara, pero lo que seguro que está claro es que es alrededor de la chica buenorra del bar de Peter (algo totalmente predecible) jejeje. A mayor número de birras (más factores externos), la línea será menos clara (si no se cae antes), pero siempre alrededor...


    ¿Me he explicado?
    Posiblemente esté equivocada Malatesta y haya mezclado temas, pero es que ante tremendo post y comentario había que rebatirtelo de alguna manera ¿no? corrigeme tu que eres el que sabe de esto (lo mío no tiene ninguna base científica más que la de sacar conclusiones de lo leído) ;p

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  6. No sólo está claro sino que tiene suspense, que aumenta progresivamente en este capítulo... ya estoy deseando ver la solución a qué sistemas no lineales no se comportan caóticamente.

    Y lo de los fractales, a ver si consigo enterarme.

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  7. Que conste que lo leo y que conste que reconozco el empeño del señor profesor por explicar el tema... pero cuando se es de letras, se es de letras, y si son puras, purísimas, inmaculadas, para qué os voy a contar!!

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  8. Para mi la pregunta fácil!!!

    Un sistema no lineal no caótico es algo tan simple como predecir en qué punto de una recta se encontrará un coche que acelera constantemente.

    Supongamos que el coche de Fernando Alonso pasa de cero a 360 Km/h en 10 segundos y que recorre 500 metros en ese tiempo.

    ¿Crees que recorrerá 250 metros en 5 segundos?

    No, porque el espacio recorrido depende del tiempo elevado al cuadrado, es decir, no es una relación lineal.

    x = 5*(t^2)

    (donde x es el espacio recorrido y 5 es la aceleración del coche en metros partido segundo cuadrado.)

    Pero en realidad existe una ecuación que nos permite saber exactamente cuánto recorrerá al cabo de 20 segundos. Y no son 1000 metros, sino 2000 m.

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  9. Respondo a 3nity. El caos es una característica intrínseca a un sistema. Es decir, puede existir aunque no hubiera ninún elemento externo que lo distorsionara. Proviene de la propia naturaleza de las ecuaciones que lo gobiernan. En realidad, es tan natural como los puntos de equilibrio estables, sólo que un poco más raro en la naturaleza. Antes de que surgiera la teoría del caos, siempre que aparecía un fenómeno que se comportaba caóticamente (por ejemplo, un circuito eléctrico con oscilaciones no periódicas, o el ondear de una bandera), se echaba la culpa al ruido externo, o a la complejidad del sistema, o simplemente se decía que funcionaba mal y se desechaba.
    No sé si te he aclarado el tema o lo he liado más.
    Gracias por la ayuda, Paco. Esperemos que al coche de F.Alonso no le dé por entrar en un atractor extraño...

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  10. JA!
    Al final has hecho caso a mi sugeerencia, y aunque no has puesto a la "lady in fractal" has puesto una femina para llamar la atención... si es que...
    Gracias, pero no creas que por eso le voy a limpiar el polvo al Makarenko. ;P

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  11. Hola! me ha encantado la explicación.
    Yo estoy estudiando sistemas de control yse me ocurre una pregunta.
    Si tienes un sistema inestable de tercer grado, conoces las condiciones iniciales del mismo y ante entrada nula, podrías conocer a los 2 segundos, por ejemplo?
    No la salida, simplemente el estado del sistema, es decir, la solución homogénea que representa la evolución del sistema libre de entrada externa.

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  12. Hola Jimawary. Veremos si te puedo responder. Si se trata de un sistema inestable a secas, creo que no hay ningún problema en conocer el estado del sistema, no sólo a los dos segundos, sino por toda la eternidad.
    Si se trata de un sistema caótico tampoco, lo que pasa es que los pequeños errores de apreciación de las condiciones iniciales, e incluso los errores de redondeo del cálculo informático, irán haciendo la predicción cada vez más errónea. La velocidad a la que se "pierde" la información depende del sistema. Hay sistemas caóticos totalmente predecibles y también totalmente impredecibles a los dos segundos, como tú dices.
    Si quieres más información, o compartir conocimientos, no dudes en escribirme a lgdmalatesta@hotmail.com.
    Un saludo.

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