lunes, 20 de febrero de 2006

Sobre el caos (III)

Cerraré esta pequeña serie de artículos sobre el caos hablando sobre fractales.
¿Qué es un fractal? La respuesta a esta pregunta es a la vez sencilla y compleja. Se conoce como fractal todo conjunto de puntos con una dimensión fraccionaria (fractional => fract-al).
Para explicarlo me apoyaré en los ejemplos que usa Lorenz en su libro “La esencia del caos”, ya referido con anterioridad. Los objetos comunes que conocemos tienen ninguna (un punto), una (una línea), dos (una superficie) o tres dimensiones (un sólido). Sin embargo, los matemáticos encontraron misteriosos conjuntos de puntos que carecían de algunas propiedades de los objetos de dimensión entera. Entonces redefinieron el concepto de dimensión y encontraron que dichos conjuntos de puntos tenían dimensión fraccionaria.
La dimensión se define a través del concepto de capacidad, que es el factor por el que tenemos que elevar a la base 2 para cubrir todos los puntos del conjunto a partir de sucesivas divisiones.
Así, en una superficie, al dividir un cuadrado en cuatro cuadrados, incrementamos el número de cuadrados necesarios en 2 elevado a 2. En una línea, sólo en 2 elevado a 1, ya que el número de cuadrados solamente se duplicará.
Sin embargo, imaginemos una figura tal que cada vez que dividimos en cuatro cuadrados, le quitamos el de la esquina superior derecha, por ejemplo. Al hacer el mismo cálculo, nos saldría una dimensión de
2^d=3
d= 1,586
La figura resultante se parecería a ésta
Pero los fractales no sólo existen en el campo teórico de las matemáticas, sino que los encontramos por doquier en la naturaleza. El ejemplo típico es el de una línea costera. ¿Qué longitud tiene? La respuesta es: depende. Si la medimos sobre un mapa, será menor que si la caminamos, ya que los pequeños cabos y entrantes de mar no aparecen el mapa. Y más grande le parecerá a una hormiguita que la recorra. Es decir, para encontrar la verdadera longitud de la costa hay que usar cuadraditos cada vez más pequeños. La dimensión entonces estará entre 1,0 y 2,0.
Una de las propiedades de los fractales puede verse claramente en el ejemplo de la primera figura: reproducen su estructura sea cual sea la escala a la que los observemos. Es lo que se denomina autosimilitud.

Las ramas de un árbol son otro ejemplo típico de una estructura fractal. Las ramas pequeñas reproducen la forma de las grandes. Lo mismo ocurre con los ríos o los capilares de nuestro sistema sanguíneo.
Pero nuestra intención era hablar del caos. ¿Cuál es la conexión? Pues que los atractores extraños, aquellos de los que hablamos en el artículo anterior, son objetos fractales. Por lo tanto, no todo lo fractal es caótico, pero sí todo lo que es caos tiene la propiedad de la fractalidad.
Por ejemplo, el atractor de Rossler, está compuesto por un conjunto apretado de líneas dobladas sobre sí mismas. No tiene dimensión 2 ni 3, sino algo intermedio.
Independientemente del valor científico del concepto, algunos fractales son objetos de gran belleza. A mi modesto entender, al menos.

15 comentarios:

  1. ¿Ya no salgo en los ejemplos?

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  2. Tu malaje, y ahora que no nos lee quien tú ya sabes. Me quieres asustar a la clientela del blog? No me pongas esas cosas.... :)))

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  3. Que puntazo ¿no?
    Yo tengo otra preocupación por otra serie de puntos que no forman un fractal de esos. ¿Cuales son los puntos cardinales de la Casa Blanca? Ya lo he buscado en Goolge y me sale que está en Marruecos. Estos yankis lo tienen todo trucado para que me tire las bombas en mi mismo tejado.

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  4. Creo que sólo lo entiendo a medias: no entiendo la teoría pero entiendo a la hormiguita

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  5. Aquí una inculta, no es que entienda un poco como Ismo, es que no entiendo una...

    Pero reconocer, hay que reconocer, te gusta el tema y te lo has currado bien...:)

    Un beso.

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  6. gilipoyeces, eso ¿para qué vale? un buen plato de berza y no tienes la cabeza para tantas gilipoyeces

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  7. A mí más que la teoría me encanta ver ciertas formas que se generan con los fractales... verdaderas obras de arte...

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  8. Entiendo muchisimo mejor las instrucciones para hacer la tarta Sacher. Además tiene una pinta que te mueres, y eso que a mi no me gusta mucho el chocolate.

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  9. Los vecinos, como siempre, incordiando. Luego será de los que usan mp3, microondas, tendrá el satelite digital, etc... Gilipolleces.
    ;)

    Eso sí, comiendonos un plato de berza podríamos ver como es la expulsión de los gases y si responde a un comportamiento caotico o no? Habría que modelarlo y estudiar las ecuaciones... me pongo a ello isofacto. ;P

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  10. Aunque no lo creas agradezco la pregunta, vecino incordiante. Ya creía que nadie lo iba a preguntar. Aparte de para comprender un poquito mejor el mundo en el que vivimos, que nunca viene mal, la teoría del caos ha servido entre otras cosas para:
    * Distinguir el ruido de un comportamiento natural de un sistema.
    * Controlar algunos procesos caóticos, desde las oscilaciones no periódicas en un circuito de potencia a algunos infartos de miocardio (esto en fase experimental).
    * Encriptación de señales.
    Dicho esto, también he de decir que me encanta la berza. Especialmente la de tagarninas.

    A los demás perdonad si os he dado la brasa con este tema. Me pareció que podía ser tan interesante como cualquier otro, y que podría hacerlo mínimamente comprensible. Evidentemente no lo he conseguido.

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  11. Mira, heliopolis, lo que acabo de leer en un libro que me han prestado ;)
    "Ése era sólo el sumario ejecutivo de una extraña vida que Randy fue descubriendo poco a poco a lo largo de los años siguientes. Más tarde, llegó a la conclusión de que la vida de Andrew era fractalmente extraña. Es decir, se podía tomar una parte pequeña de ella, y al examinarla en detalle resultaría ser tan complicada y extraña como el todo."
    Neal Stephenson, Criptonomicón

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  12. Ni me acordaba de eso, bueno, es que no me acuerdo. Creo que te va a gustar mucho, aunque viendo lo que vi el otro dia, espero que no haya una disputa por resolver la función. :))))))

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  13. Que casualidad, el Criptonomicón es el libro que se está leyendo mi jefe, al final me vais a picar a leerlo a mi también ¿está bien o es muy rebuscado?.

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  14. A mí me tiene enganchado, 3nity. Ya te digo cuando lo termine.

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  15. Pues igual me apunto ese libro para leer en la camita antes de dormirla...

    A mi lo que me despertó la curiosidad por los fractales y el mundo del caos fue la nieve. La forma que tienen los copos de nieve es, en el caso de un copo perfecto, fractal. De ahí empecé a leer sobre el caos y acabé descubriendo que hay gatos que pueden estar vivos y muertos al mismo tiempo, vosotros ya me entendéis...

    Odio la berza, sobretodo dentro de rollitos chinos...

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